Горячая линия бесплатной юридической помощи:
Москва и область:
Москва И МО:
+7(499) 110-93-68 (бесплатно)
Санкт-Петербург и область:
СПб и Лен.область:
Регионы (вся Россия, добавочный обязательно):
8 (800) 500-27-29 (доб. 565, бесплатно)

Отношение частичного порядка (№11)

6. Элементы общей алгебры

n-арная
операция
на множестве М – это функция типа

где n-арность
операции. Операция замкнута относительно
множества М по определению, т. е.
операция над элементами множества М, и
результат тоже элемент М.

Определение:Алгеброй
называется множество, вместе с заданной
на нем совокупностью операций
,
т. е.
система

Определение:
М – основное
(несущее) множество
(носитель алгебры) алгебры А.

Определение:Тип алгебры
– вектор арностей операций.

Определение:Сигнатура
– совокупность операций .

Определение: Множество
называетсязамкнутым
относительно
n-арной
операции 
на М, если

Отношение частичного порядка (№11)

т. е. если значения

на аргументе из
принадлежат.

Определение:Если
замкнуто относительно всех операций,
алгебры М, то система

называется
подалгеброй
алгебры А (при этом
рассматриваются как операции на).

1. Определение:
Алгебра
— называетсяполем
действительных чисел.

Обе операции
бинарные, поэтому тип этой алгебры
(2,2). Сигнатура
.

Подалгеброй этой
алгебры является, например, поле
рациональных чисел.

и
,
где с иd
– остатки от деления на р чисел а b
и а 
b
соответственно.

R

Пусть, например,
р = 7, тогда
и

Часто обозначают:
a
b
= с (mod
p)

a

b
= d
(mod
p).

Определение:Конечным
полем характеристики р
называется алгебра
,
если р – простое число.

3.
Пусть задано множество U.

Определение:Булеаном U
называется множество всех подмножеств
множества U
(обозначается
).

Определение:Булева алгебра
множеств над U
– алгебра
.
Ее тип (2,2,1), сигнатура.

Элементами основного
множества булевой алгебры являются
множества (подмножества U).

Для любого
— является подалгеброй В.

Например, если
,
то основное множество алгебры В содержит
16 элементов; алгебра- подалгебра В. Ее несущее множество
содержит четыре элемента.

4.Множество F
одноместных функций на R,
т. е. функции
вместе с операциейдифференцирования
является алгеброй. Элементы несущего
множества – функции типа
,
единственная операция этой алгебры
дифференцирования – унарная операция
типа(так как производной функцией наR
снова является функция на R).

https://www.youtube.com/watch?v=ytcreatorsen-GB

Множество
элементарных функций замкнуто относительно
дифференцирования, поскольку произведение
элементарных функций элементарно,
следовательно, образуют подалгебру
данной алгебры.

5.
Рассмотрим квадрат с вершинами в точках
,
пронумерованных против часовой стрелки,
и повороты квадрата в том же направлении,
переводящие вершины в вершины. Таких
поворотов бесконечно много: на углы 0,,,
,
2,
,
. . . , однако они задают всего 4 различных
отображения множества вершин в себя,
соответствующие первым четырем поворотам.

— поворот на углы
0, 2,
4,…

Отношение частичного порядка (№11)

— поворот на углы

— поворот на углы
0, 3,
5,…

— поворот на углы

Таким образом,
получаем алгебру с основным множеством
и четырьмя унарными операциями(т. е. сигнатура алгебры,
тип алгебры {1,1,1,1}. Их можно задать
таблицей, в которой на пересечении
строки номери столбцанаписано значение функции.

Определение:
Тождественной операцией
называется операция ,
отображающая любой элемент в себя.
Тождественная операция соответствует
нулевому повороту. Подалгебр в алгебре
с одной операцией ,
нет.

Отношение частичного порядка (№11)

6.
Множество
— отображение вершин в себя из предыдущего
примера (5), вместе с бинарной операцией
композиции “”
отображений образует алгебру (L,
). Композиция отображений – это
последовательное выполнение двух
поворотов. Она задается таблицей. В
таблице на пересечении строки
и столбца 
написан результат
.

Таблица Кэли

Определение:
Такая таблица, задающая бинарную
операцию, называется таблицей
Кэли. Множество
,
т. е. повороты на углы 0,
образуют подалгебру алгебры
.

Варианты

Отношение частичного порядка R{displaystyle R} называется линейным порядком, если выполнено условие

∀x∀y(xRy∨yRx){displaystyle forall xforall y(xRylor yRx)}.

Множество X{displaystyle X}, на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным, или цепью.

Отношение R{displaystyle R}, удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется предпорядком, или квазипорядком.

I. Задание множества списком

 Списком можно
задать лишь множества, содержащие
несколько элементов. Задание типа

Предлагаем ознакомиться  Что выгоднее ипотека или кредит на квартиру: на покупку вторичного жилья лучше брать ипотечную ссуду или потребительскую

https://www.youtube.com/watch?v=ytdeven-GB

N = 1, 2, 3 . . .

не список, а условное
обозначение, допустимое, когда оно
заведомо не вызывает разногласий.

Отношение частичного порядка (№11)

и прочитать как :
“А-
множество, содержащее 7, 8, 9”.

Множества часто
рассматриваются как “неупорядоченные
совокупности элементов”, хотя иногда
полезно подчеркнуть, что, например,

Мы не делаем никакой
оговорки о порядке,
в котором рассматриваются элементы,
поэтому было бы неправильно
допускать какой-либо определенный
порядок.

Если число членов
множества В легко вычисляется, и среди
элементов множества нет повторений, то
определение верно.

Множество С также
выглядит правильным, за исключением
лишь того, что число 6 повторяется дважды.
Мы можем проверить, принадлежит ли
элемент или нет. Таким образом, это
наиболее важное требование в определении
множества выполнено. Следовательно, мы
можем рассматривать эту запись как
верную и эквивалентную
.

Однако в этой ситуации возникают
следующие проблемы. Если мы рассмотрим
первоначальное определение Си выбросим
одно из чисел 6 из множества, то мы,
очевидно, будем иметь
и.
Возникает противоречие. Поэтому мы
будем рассматривать повторение символов
в определении множеств как упоминание
одного и того же символа, а его дублирование
как недосмотр.

Определение D также
справедливо. Заметим, что это множество
множеств, такое, что оно имеет только
два элемента, в частности,
,
даже еслии.
Это легко проверить, так каки только В и С являются элементами D.

https://www.youtube.com/watch?v=ytpolicyandsafetyen-GB

Описывает способ
получения элементов множества из уже
полученных элементов либо других
объектов. Тогда элементы множества —
все объекты, которые могут быть получены
(построены) с помощью такой процедуры.

1) Описание
множества
(множество всех чисел вида),
где исходные объекты для построения
множества — натуральные числа, а
порождающая процедура для вычисления
описана формулой.

Отношение частичного порядка (№11)

2) Множество

а) ;
б) если,
то.

Правила, описанные
таким образом, называются индуктивными
или рекурсивными.

3) Множество
,
заданное следующим образом.

Пусть имеется
процедура вычисления цифр разложения
числа 
в бесконечную десятичную дробь

 = 3,1415926536 . . .

По мере вычисления
будем образовывать из последовательности
цифр данной десятичной дроби трехзначные
числа

Отношение частичного порядка (№11)

314, 159, 265 и т. д.

Множество всех
таких чисел образует множество
.

4) Распространенная
порождающая процедура — образование
новых множеств из других множеств с
помощью операций над множествами.

— множество всех
натуральных чисел (N).

— множество всех
решений уравнения
.

— множество всех
действительных чисел.

— множество всех
чисел
,
гдеможно интерпретировать как описание
свойства его элементов, заключающегося
в возможности представить их в виде.

Отношение частичного порядка (№11)


заданное как “множество всех целых
чисел, являющихся степенью двойки”,
.
Такой способ задания множества
применяется, когда свойство элементов
М может быть описано коротким выражением.
Например, P(x) читается: «х обладает
свойством Р», то М задается при помощи
обозначениячитается:
«М — множество элементов х, обладающих
свойством Р».

https://www.youtube.com/watch?v=upload

1) .

2) .

Требования к
описанию свойств
— точность и недвусмысленность.

Множество всех
красивых первокурсниц математического
факультета 2002 г. не строго определено,
так как у разных людей – различные
критерии отбора.

Надежный способ
точно описать свойства элементов данного
множества — задание распознающей
(разрешающей)
процедуры, которая для любого объекта
устанавливает, обладает он свойством
или нет (т. е. является элементом
множества или нет).

Для
,
то есть для свойства, быть степенью
двойкиразрешающей
процедурой
является любой метод
разложения целых
чисел на простые множители. Здесь
разрешающая процедура не является
порождающей. Но ее нетрудно таковой
сделать: например, порождающая процедура
может быть таковой. Берем последовательно
все натуральные числа и каждые из них
разлагаем на простые множители: те
числа, которые не содержат множителей,
отличных от двойки, включаем в
.

С другой стороны
порождающая процедура может не быть
разрешающей. Например, при получении
действует порождающая процедура. Но с
ее помощью нельзя определить, будет ли
произвольное трехзначное число
принадлежатьили нет, т. е. множествобесконечно, и если при построении
n — чисел множества некоторое
(проверяемое) число не встретилось, то
еще нельзя утверждать, что оно не
принадлежит.

Предлагаем ознакомиться  Организация и порядок проведения землеустройства

Обобщение:
Суть
порождающей процедуры в том, что с ее
помощью из уже полученных элементов
множества или других объектов получают
(или могут получить) все последующие
элементы.

Суть
разрешающей процедуры в том, что она
разрешает (или не разрешает) предложенному
для проверки объекту быть или не быть
элементом данного множества в зависимости
от его свойств.

Понятие “точно
заданное множество” нуждается в
уточнении. Одна из основных трудностей
задания множества (даже из множеств,
точность описания которых не вызывает
сомнения) с помощью вполне, казалось
бы, законных средств — в том, что можно
сконструировать описание множеств,
которые приводят к противоречиям —
“парадоксам теории множеств”.

Перед дальнейшим
изложением будет удобно определить два
специальных множества.

при любом х.

Другое множество,
определение которого зависит от задачи,
называют универсальным множеством.

Определение:Универсальное
множество
(обозначается U) есть множество всех
рассматриваемых в данной задаче
элементов.

Рассмотрим теперь
множество.
Оно имеет n элементов. Будем говорить,
что мощность этого множества есть n.

https://www.youtube.com/watch?v=ytadvertiseen-GB

Определение:Мощностью
(длиной, размерностью)
множества называется число элементов
этого множества. Обозначим
.

Далее любое
множество В, которое имеет то же число
элементов, что и А, имеет такую же
мощность, и естественно, эти элементы
не надо пересчитывать. Для небольших
множеств достаточно легко пересчитать
элементы, но для других множеств, например
N, это может быть невозможно. Далее
следует строгое, но неформальное
определение количества элементов.

Определение:
Говорят, что множество Х конечно,
если
или для некоторогосуществует
множествотакое,
что оно имеет то же самое число элементов,
что и X. Еслии никакого n не может быть найдено, то Х
называютбесконечным.

Строгий порядок

∀x¬(xRx){displaystyle forall xneg (xRx)},

Отношение частичного порядка (№11)

то получим определение строгого, или антирефлексивного частичного порядка (обозначается обычно символом ≺{displaystyle prec }).

Замечание. Одновременная антирефлексивность и транзитивность отношения влечёт антисимметричность. Поэтому отношение является отношением строгого порядка тогда и только тогда, когда оно антирефлексивно и транзитивно.

В общем случае, если R{displaystyle R} — транзитивное, антисимметричное отношение, то

R≼=R∪{(x,x)|x∈X}{displaystyle R_{preccurlyeq }=Rcup {(x,x)|xin X}} — рефлексивный порядок
R≺=R∖{(x,x)|x∈X}{displaystyle R_{prec }=Rsetminus {(x,x)|xin X}} — строгий порядок.

III. Задание множества описанием его элементов (разрешающая процедура)

2) Множество

1) .

2) .

Отношение частичного порядка (№11)

при любом х.

Размерность Душника — Миллера

Размерность Душника — Миллера (англ.) (иногда называемая просто размерность) частичного порядка — это наименьшее количество отношений линейного порядка, пересечение которых равно данному частичному порядку. Задача распознавания того, превосходит ли размерность данного конечного частичного порядка число k,{displaystyle k,} принадлежит к классу P при k{amp}lt;3,{displaystyle k{amp}lt;3,} но является NP-полной при k⩾3.{displaystyle kgeqslant 3.}[1]

История

Знаки {amp}lt;{displaystyle {amp}lt;} и {amp}gt;{displaystyle {amp}gt;} изобретены Хэрриотом.

3. Элементы комбинаторики

https://www.youtube.com/watch?v=ytcopyrighten-GB

Комбинаторика –
ветвь математики, изучающая комбинации
и перестановки предметов. Общие законы
комбинирования и образования различных
конфигураций объектов возникла в XVII в.
С задачами, в которых приходится выбирать
те или иные предметы, располагать их в
определенном порядке и отыскивать среди
расположений наилучшие люди столкнулись
еще в доисторическую эпоху, выбирая
наилучшие расположения охотников во
время охоты, воинов во время битвы,
инструментов во время работы.

Определенным
образом располагались украшения на
одежде, узоры на керамике, перья в
оперении стрелы. По мере усложнения
производственных и общественных
отношений все шире приходилось
пользоваться общими понятиями о порядке,
иерархии, группировании. В том же
направлении действовало развитие
ремесел и торговли.

В первом приближении
можно сказать, что комбинаторика изучает
способы выборки и расположения предметов,
свойства различных конфигураций, которые
можно образовать из элементов, причем
элементами могут быть числа, точки,
отрезки, шахматные фигуры и т. д.
Характерной чертой комбинаторных задач
является то, что в них речь идет всегда
о конечном множестве элементов.

Предлагаем ознакомиться  Гибкий график работы - Все о кадрах

Далее перейдем к
ряду правил и формул, формального
доказательства которых, за отсутствием
необходимости, мы проводить не будем.

Ссылки

  1. Yannakakis, Mihalis (1982), «The complexity of the partial order dimension problem», SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods 3 (3): 351—358

3.1. Правило произведения

Пусть имеем
несколько конечных множеств

,
причем
.

По теореме о
мощности прямого произведения множеств,
число векторов
,
которые можно составить из элементов
данных множеств, равно,
так как

Сколько восьмизначных
чисел можно построить из цифр (символов)
(0, 1, 2 . . . 9), так чтобы цифры не повторялись?

1) Так как речь
идет именно о восьмизначном числе, а не
о последовательности из 8 знаков, то,
следовательно, 1-ая цифра не может быть
нулем.

Тогда множество
— кандидатов на 1-ое место содержит 9
элементов (1, 2 . . . 9);

после выбора первой
цифры множество
содержит снова 9 элементов — те цифры,
которые не равны первой;

если первая цифра
1, то (0, 2, 3 . . . 9);

2, то (0, 1,
3 . . . 9);

3, то (0, 1,
2, 4 . . . 9) . . .

Множество
после выбораисодержит 8 элементов
— те цифры, которые не равны
и.

https://www.youtube.com/watch?v=ytabouten-GB

Ответом является
число

Решим задачу: в
вазе лежат 6 яблок и 12 груш. Сколько в
ней плодов? Ответ тривиален: 6 12 = 18. Если
выбрать из вазы один лежащий в ней плод,
то это можно сделать 18 способами. Вообще
справедлив следующий принцип комбинаторики:
если объект а можно выбрать m способами,
а объект b выбрать n способами, то выбор
“а или b” можно сделать m n способами.

Отношение частичного порядка (№11)

На языке теории
множеств это утверждение означает, если

и
,
то

Сложнее получить
ответ, когда А и В пересекаются.

Пусть.
Тогда, находя,
мы к мощности (числу элементов) А прибавим
число элементов в В, причем число
элементовпопадет в сумму дважды: один раз — в
слагаемом,
второй — в слагаемом.
Поэтому изнужно один (лишний) раз- вычесть.

Разберемся в случае с тремя
множествами. Если эти множества
перекрываются лишь попарно (рис. б), то
см. выше. Если
непусто (рис.а), то его элементы в случае
см. выше окажутся совсем неучтенными:
сначала их три раза учитывают, когда
складывают мощности каждого из трех
множеств А, В и С, а потом те же три раза
учитывают, вычитая мощности пересечений
множеств по два. Эти операции гасят друг
друга, и полученный ответ окажется
меньше истинного как раз на число
элементов.
Значит, это число и надо добавить.

Пример:
Во время отпуска 12 дней шел дождь, 8 дней
дул сильный ветер, причем 5 дней были
дождливы и ветренны. Сколько было дней
с плохой погодой?

12 8 — 5 = 15.

3.3. Размещения с повторениями

Множества
,
из элементов, из которых составляются
вектора, в правиле произведения могут
иметь общие элементы. В частности, все
они могут совпадать с одним и тем же
множеством Х, содержащим n элементов.

Вектора длины
k, составленные из элементов n — множества
Х называют размещениями с повторениями
(словами длины k в алфавите Х), а их число
обозначают
.

Из правила
произведения сразу вытекает, что

k раз

Сколько слов длины
6 можно составить из 26 букв английского
алфавита?

3.5. Перестановки с повторениями

Решим задачу:
сколькими способами можно переставить
между собой (поменять местами) сразу
все k элементов множества Х?

Число

перестановок без повторений из n элементов
– это число способов, сколькими поn
местам можно расставить n
элементов.
Оно легко получается из формулы для
размещений без повторений при условии,
что длина создаваемых векторов k равна
мощности всего множества n

0! по определению
равен 1.

мама, маам, ммаа,
амам, аамм, амма.

https://www.youtube.com/watch?v=https:accounts.google.comServiceLogin

Пусть дан вектор
длины n, составленный из элементов
,
причем
входит в вектор
раз,- раза, . . . , — раз. Тогда

https://www.youtube.com/watch?v=ytpressen-GB

где
.

Оцените статью
Юриспруденция
Adblock detector